發(fā)布時(shí)間：2018-07-18所屬分類：科技論文瀏覽：1次
摘 要： 摘要 本文考慮一類具有強(qiáng)迫力的擺型碰撞振子無(wú)窮多次調(diào)和的彈性周期解的存在性. 通過(guò)坐標(biāo)變換的方法把碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為定義在全平面上的等價(jià)系統(tǒng), 再運(yùn)用相平面分析的方法對(duì)變換后系統(tǒng)的解的動(dòng)力行為進(jìn)行分析, 通過(guò)在改進(jìn)的 Poincare 映射上應(yīng)用 Poincare-Birk
摘要 本文考慮一類具有強(qiáng)迫力的擺型碰撞振子無(wú)窮多次調(diào)和的彈性周期解的存在性. 通過(guò)坐標(biāo)變換的方法把碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為定義在全平面上的等價(jià)系統(tǒng), 再運(yùn)用相平面分析的方法對(duì)變換后系統(tǒng)的解的動(dòng)力行為進(jìn)行分析, 通過(guò)在改進(jìn)的 Poincar´e 映射上應(yīng)用 Poincar´e-Birkhoff 扭轉(zhuǎn)定理得到了無(wú)窮多次調(diào)和的彈性周期解的存在性.
關(guān)鍵詞 擺型碰撞振子 彈性周期解 Poincar´e 映射 Poincar´e-Birkhoff 扭轉(zhuǎn)定理
1 引言
本文考慮具有強(qiáng)迫力的擺型碰撞振子
的無(wú)窮多次調(diào)和的彈性周期解的存在性問(wèn)題, 其中 ε 是小參數(shù); p(t) 是連續(xù)的 2π 周期函數(shù); f(t, x) 是連續(xù)函數(shù), 關(guān)于 t 和 x 都是 2π 周期的, 并存在正常數(shù) α 和 β, 滿足
碰撞振子是非線性振動(dòng)和非光滑 Hamilton 系統(tǒng)的重要模型, 它的行為與 Fermi 加速器問(wèn)題[1]、對(duì)偶彈球問(wèn)題[2, 3] 和天體力學(xué)問(wèn)題[4] 等相關(guān)聯(lián), 所以, 研究它具有廣泛的實(shí)際意義. 同時(shí)也為檢驗(yàn)一些非光滑動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法提供了一個(gè)很好的模型. 但由于系統(tǒng)的非光滑性導(dǎo)致研究的數(shù)學(xué)工具比較缺乏, 而且碰撞問(wèn)題的彈性解的全體并不封閉, 從而也缺乏適當(dāng)?shù)姆汉蚣? 使得解決碰撞系統(tǒng)的相關(guān)問(wèn)題變得困難.
為了更好地?cái)⑹鰡?wèn)題, 我們先給出在 x = 0 處發(fā)生完全碰撞的彈性解的定義.
定義 1.1 連續(xù)函數(shù) x : R → R 稱為方程 (1.1) 的碰撞彈性解, 若以下條件成立:
周期彈性解是碰撞振子特有的非平凡的平衡態(tài). 關(guān)于碰撞振子的周期解理論的研究方法主要有兩類, 一類是應(yīng)用非光滑臨界點(diǎn)理論來(lái)研究. 早在 20 世紀(jì) 80 年代, Chang [5, 6] 就發(fā)展了非光滑臨界點(diǎn)理論對(duì)障礙問(wèn)題進(jìn)行研究. 近期的進(jìn)展可參見(jiàn)文獻(xiàn) [7] 等. 碰撞振子是一類特殊的障礙問(wèn)題. Jiang [8] 克服了一些技術(shù)上的難點(diǎn), 通過(guò)一些轉(zhuǎn)換, 用非光滑臨界點(diǎn)理論, 證明了在超線性條件下, 無(wú)窮多彈性周期解的存在性.
另一類是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖饔?- 角變量的選擇來(lái)克服非光滑性, 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)南嗥矫嫔系谋Ｃ娣e同胚進(jìn)行研究. 這樣可以應(yīng)用保面積同胚的一些重要定理, 例如, Poincar´e-Birkhoff 扭轉(zhuǎn)定理得到碰撞振子的無(wú)窮多個(gè)彈性周期解的存在性 (參見(jiàn)文獻(xiàn) [1,9–11]). Bonheure 和 Fabry [9] 利用 Poincar´e 映射和逼近的方法證明了帶有常系數(shù)的線性碰撞振子的 2π 周期彈性解的存在性. 接著, Qian 和 Torres[10, 11]用后繼映射直接分析碰撞振子的行為, 對(duì)更廣泛的模型得到了比文獻(xiàn) [9] 更豐富的結(jié)果.
對(duì)于本文考慮的具有強(qiáng)迫力的擺型碰撞振子, 一個(gè)典型的例子就是彈性數(shù)學(xué)擺
其中 a(t) 和 q(t) 是 2π 周期函數(shù), a(t) > 0. 當(dāng) a(t) = 1 和 q(t) = 0 時(shí), 由對(duì)稱性可知, 其相圖就是擺型方程 x'' + sin x = 0 對(duì)應(yīng)于 x大于等于0 的部分. 如果 a(t) 不是常值函數(shù), 或者具有強(qiáng)迫力 q(t), 則 (1.2) 在相平面上的表現(xiàn)就不那么規(guī)則了.
的非退化條件或者對(duì) q(t) 有一定的限制條件下, 近期也有一些無(wú)窮多個(gè)次調(diào)和解存在性的結(jié)果[15–17]擺型碰撞振子 (1.2) 的彈性周期解的研究尚未見(jiàn)系統(tǒng)的理論結(jié)果. 所以, 一個(gè)自然的問(wèn)題是, 在什么條件下擺型碰撞振子 (1.2) 存在無(wú)窮多個(gè)次調(diào)和的彈性周期解. 由于從 (1.2) 的特例的相圖 (如q(t) ≡ 0) 可見(jiàn), 初速度比較大的解其后繼映射是沒(méi)有定義的, 所以, 我們并不能沿用文獻(xiàn) [1, 9–11] 的方法, 必須考慮不同的相平面. 為此, 我們引入文獻(xiàn) [18] 中的坐標(biāo)變換把碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為定義在全平面上的等價(jià)系統(tǒng), 再運(yùn)用相平面分析的方法對(duì)變換后系統(tǒng)的解的動(dòng)力行為進(jìn)行分析, 通過(guò)新系統(tǒng)的Poincar´e 映射的性質(zhì)來(lái)研究具有強(qiáng)迫力的擺型碰撞振子的彈性周期解的存在性.
下面是我們的主要結(jié)論.
定理 1.1 設(shè) f(t, x) 關(guān)于 t 和 x 是 2π 周期的連續(xù)函數(shù), 滿足條件 (h), p(t) 是連續(xù)的 2π 周期函數(shù), 則存在 ε0 > 0, 使得當(dāng) |ε| 小于等于 ε0 時(shí), 有 mε ∈ N; 對(duì) m > mε, m ∈ N, 碰撞振子 (1.1) 至少有兩個(gè) 2mπ周期的彈性次調(diào)和解。
2 坐標(biāo)變換
由于碰撞振子的解要滿足 x(t) > 0, 所以其對(duì)應(yīng)的相平面只是右半平面. 在這樣的相平面上, 經(jīng)典的研究平面 Hamilton 系統(tǒng)周期解存在性的 Poincar´e-Birkhoff 扭轉(zhuǎn)定理無(wú)法應(yīng)用. 因此, 我們引入一個(gè)新的極坐標(biāo)變換, 使得在新坐標(biāo)下碰撞振子的相平面是全平面. 其幾何直觀是將負(fù)半 y 軸拉到正半 y軸使它們重合 (對(duì)應(yīng)彈性碰撞). 因此, 碰撞振子的相平面就是全平面了. 在這種坐標(biāo)下, 方程 (1.1) 的次調(diào)和的彈性周期解對(duì)應(yīng)為 Poincar´e 映射的周期不動(dòng)點(diǎn). 下面介紹所用的極坐標(biāo)變換.
使得 r(t) 和 θ(t) 在碰撞時(shí)刻 t0 處是連續(xù)函數(shù). 當(dāng)情形 2 發(fā)生時(shí), 取 j = 2k − 1, 我們可以通過(guò)類似的方法補(bǔ)充 r(t) 和 θ(t) 在 t0 時(shí)刻的定義使其是連續(xù)函數(shù).通過(guò)在每個(gè)碰撞時(shí)刻補(bǔ)充定義, 方程 (2.5) 的解 r(t) 和 θ(t) 在其最大存在區(qū)間上是連續(xù)函數(shù). 容易看出, θ′(t0) = −2 < 0, 因此振子不會(huì)在 θ(t) = 2kπ + π/2 (k ∈ Z) 處停留, 并且碰撞前后解滿足的方程在情形 1 與 2 之間相互交替. 反過(guò)來(lái), 如果方程 (2.4) 的解存在時(shí)刻 t˜ 滿足 θ(t˜) = 2kπ + π/2, 顯然,
方程 (2.1) 對(duì)應(yīng)的解將在 t = t˜ 時(shí)發(fā)生碰撞.當(dāng) θ ∈ (−3π/2, π/2) 時(shí), 有 θ + 2π ∈ (π/2, 5π/2), 由此容易驗(yàn)證, 在方程 (2.2) 中, x(r, θ) 和 y(r, θ)關(guān)于 θ 是 2π 周期的.
如果 Hamilton 系統(tǒng)
滿足解對(duì)初值的存在唯一性, 那么除去原點(diǎn)外, 方程 (2.2) 也滿足解對(duì)初值的存在唯一性. 如果解都是全局存在的, 則容易證明其 Poincar´e 映射
是有定義的, 而且是保面積同胚. 故由極坐標(biāo)
表示的 (u = r cos θ, v = r sin θ) 相平面的 Poincar´e 映射也是有定義的, 在變換 (2.3) 和 (2.4) 的極坐標(biāo)下, 原來(lái)的 (x, y) 相平面有面積元 rdrdθ. 而在變換后的 (u = r cos θ, v = r sin θ) 相平面也有面積元rdrdθ, 而且其 Poincar´e 映射也是保面積同胚.
3 相平面分析
由于我們是在一個(gè)特定的環(huán)域內(nèi)應(yīng)用 Poincar´e-Birkhoff 扭轉(zhuǎn)定理, 因此, 我們的相平面分析可以歸結(jié)在一個(gè)緊區(qū)域內(nèi), 所以, 不妨假設(shè)在定理 1.1 的條件下, 二階 Hamilton 方程 x′′ + f(t, x) = εp(t) 和Hamilton 系統(tǒng)
的初值問(wèn)題的解是存在唯一的, 否則可以像文獻(xiàn) [19] 那樣先考慮解析的方程, 然后用一點(diǎn)緊性討論, 逼近到原方程問(wèn)題的解.
下面的引理說(shuō)明我們可以通過(guò)極坐標(biāo)系統(tǒng) (2.5) 來(lái)研究碰撞振子 (2.2) 的次調(diào)和解.
4 定理 1.1 的證明
考慮的 Poincar´e 映射在原點(diǎn)處是例外的, 所以, 我們需要用到一個(gè) Poincar´e-Birkhoff 扭轉(zhuǎn)定理的
新的形式 (參見(jiàn)文獻(xiàn) [11, 定理 2.1]), 它是在 Ding [20] 和 Franks[14] 得到的 Poincar´e-Birkhoff 扭轉(zhuǎn)定理的基礎(chǔ)上改進(jìn)的. 這個(gè)形式的特點(diǎn)是, 只需要 Poincar´e 映射在某一個(gè)包含原點(diǎn)的圓盤外有定義.
它們對(duì)應(yīng)到碰撞系統(tǒng) (2.2) 的 2 個(gè) 2mπ 彈性周期解, 并且分別在 2mπ 時(shí)段內(nèi)恰好有一次碰撞. 所以,它們必定是 2mπ 彈性次調(diào)和的周期解. 對(duì)每一個(gè) m, 取不同的 r+ 可以構(gòu)造不同的環(huán)域, 得到系統(tǒng)對(duì)每個(gè) m > m0 有至少 2 個(gè) 2mπ 彈性次調(diào)和的周期解.
下面需證明這些周期解是系統(tǒng) (2.1) 的. 也就是證明這些周期解位于圓盤 r 6 ρ1 之外. 為此, 注意到由 Poincar´e-Birkhoff 扭轉(zhuǎn)定理得到的周期解從 A 中出發(fā), 如果其達(dá)到圓盤 r 6 ρ1 必定在某個(gè)時(shí)刻 t1與內(nèi)邊界 r = r− 相交, 然后又在 t2 時(shí)刻與 r = ρ1 相交. 引理 3.3 實(shí)際上證明了從內(nèi)邊界 r = r− 出發(fā)的解到達(dá) r = ρ1 至少需要用 12π/α 長(zhǎng)的時(shí)間, 故 2mπ > t2 > t1 + 12π/α. 而引理 3.3 實(shí)際上也證明了在 12π/α 時(shí)段內(nèi)解至少順時(shí)針轉(zhuǎn)了 3 圈. 于是, 結(jié)合 (3.3) 可得
與 (4.1) 矛盾.
我們證明了所得的 2mπ 彈性次調(diào)和的周期解是系統(tǒng) (2.1) 的, 也即證明了對(duì)每個(gè) m > m0, 碰撞振子 (1.1) 至少有兩個(gè) 2mπ 彈性次調(diào)和的周期解.
參考文獻(xiàn)
1 Lamba H. Chaotic, regular and unbounded behaviour in the elastic impact oscillator. Phys D, 1995, 82: 117–135
2 Boyland P. Dual billiards, twist maps and impact oscillators. Nonlinearity, 1996, 9: 1411–1438
3 Zharnitsky V. Invariant tori in Hamiltonian systems with impacts. Comm Math Phys, 2000, 211: 289–302
4 Corbera M, Llibre J. Periodic orbits of a collinear restricted three body problem. Celestial Mech Dynam Astronom, 2003, 86: 163–183
5 Chang K C. The obstacle problem and partial differential equations with discontinuous nonlinearities. Comm Pure Appl Math, 1980, 33: 117–146
6 Chang K C. Variational methods for non-differentiable functionals and their applications to partial equations. J Math Anal Appl, 1981, 80: 102–129
7 Jiang Q, Tang C L. Periodic and subharmonic solutions of a class of subquadratic second-order Hamiltonian systems.J Math Anal Appl, 2007, 328: 380–389
8 Jiang M Y. Periodic solutions of second order differential equations with an obstacle. Nonlinearity, 2006, 19: 1165–1183
9 Bonheure D, Fabry C. Periodic motions in impact oscillators with perfectly elastic bounces. Nonlinearity, 2002, 15:1281–1297
10 Qian D, Torres P J. Bouncing solutions of an equation with attractive singularity. Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,2004, 134: 210–213
11 Qian D, Torres P J. Periodic motions of linear impact oscillators via the successor map. SIAM J Math Anal, 2005, 36:1707–1725
12 You J. Invariant tori and Lagrange stability of pendulum-type equations. J Differential Equations, 1990, 85: 54–65
13 Mawhin J, Willem M. Multiple solutions of the periodic boundary value problem for some forced pendulum-type equations. J Differential Equations, 1984, 52: 264–287
14 Franks J. Generalizations of the Poincar´e-Birkhoff theorem. Ann of Math (2), 1988, 128: 139–151
15 Fonda A, Willem M. Subharmonic oscillations of forced pendulum-type equations. J Differential Equations, 1989, 81:215–220
16 Martinez-Amores P, Mawhin J, Ortega R, et al. Generic results for the existence of nondegenerate periodic solutions
of some differential systems with periodic nonlinearities. J Differential Equations, 1991, 91: 138–148
17 Boscaggin A, Ortega R, Zanolin F. Subharmonic solutions of the forced pendulum equation: A symplectic approach.Arch Math, 2014, 102: 459–468
18 孫西瀅. 彈性碰撞振子的動(dòng)態(tài)行為. 碩士學(xué)位論文. 蘇州: 蘇州大學(xué), 2003
19 Ding T, Zanolin F. Periodic solutions of Duffing’s equations with superquadratic potential. J Differential Equations,1992, 97: 328–378
20 Ding W. A generalization of the Poincar´e-Birkhoff theorem. Proc Amer Math Soc, 1983, 88: 341–346
